Gerak harmonik sederhana dalam contoh soal dan pembahasan. Materi persamaan gerak harmonis atau getaran mirip-mirip dengan gelombang berjalan.
Contoh 1
Sebuah benda bergetar hingga membentuk suatu gerak harmonis dengan persamaan
Contoh 1
Sebuah benda bergetar hingga membentuk suatu gerak harmonis dengan persamaan
y = 0,04 sin 20π t
dengan y adalah simpangan dalam satuan meter, t adalah waktu dalam satuan sekon. Tentukan beberapa besaran dari persamaan getaran harmonis tersebut:
a) amplitudo
b) frekuensi
c) periode
d) simpangan maksimum
e) simpangan saat t = 1/60 sekon
f) simpangan saat sudut fasenya 45°
g) sudut fase saat simpangannya 0,02 meter
a) amplitudo
b) frekuensi
c) periode
d) simpangan maksimum
e) simpangan saat t = 1/60 sekon
f) simpangan saat sudut fasenya 45°
g) sudut fase saat simpangannya 0,02 meter
Pembahasan
Pola persamaan simpangan gerak harmonik diatas adalah
Pola persamaan simpangan gerak harmonik diatas adalah
| y = A sin ωt |
| ω = 2π f atau 2π ω = _____ T |
a) amplitudo atau A
y = 0,04 sin 20π t
↓
A = 0,04 meter
b) frekuensi atau f
y = 0,04 sin 20π t
↓
ω = 20π
2πf = 20π
f = 10 Hz
c) periode atau T
T = 1/f
T = 1/10 = 0,1 s
d) simpangan maksimum atau ymaks
| y = A sin ωt |
| y = ymaks sin ωt |
y = 0,04 sin 20π t
↓
y = ymaks sin ωt
ymaks = 0,04 m
(Simpangan maksimum tidak lain adalah amplitudo)
e) simpangan saat t = 1/60 sekon
y = 0,04 sin 20π t
y = 0,04 sin 20π (1/60)
y = 0,04 sin 1/3 π
y = 0,04 sin 60° = 0,04 × 1/2√3 = 0,02 √3 m
f) simpangan saat sudut fasenya 45°
| y = A sin ωt |
| y = A sin θ |
dimana θ adalah sudut fase, θ = ωt
y = 0,04 sin θ
y = 0,04 sin 45° = 0,04 (0,5√2) = 0,02√2 m
g) sudut fase saat simpangannya 0,02 meter
y = 0,04 sin 20π t
y = 0,04 sin θ
0,02 = 0,04 sin θ
sin θ = 1/2
θ = 30°
Contoh 2
Diberikan sebuah persamaan simpangan gerak harmonik
y = 0,04 sin 100 t
Tentukan:
a) persamaan kecepatan
b) kecepatan maksimum
c) persamaan percepatan
Pembahasan
a) persamaan kecepatan
Berikut berurutan rumus simpangan, kecepatan dan percepatan:
| y = A sin ωt |
| ν = ωA cos ω t |
| a = − ω2 A sin ω t |
Ket:
y = simpangan (m)
ν = kecepatan (m/s)
a = percepatan (m/s2)
Dari y = 0,04 sin 100 t
ω = 100 rad/s
A = 0,04 m
sehingga:
ν = ωA cos ω t
ν = (100)(0,04) cos 100 t
ν = 4 cos 100 t
b) kecepatan maksimum
| ν = ωA cos ω t |
| ν = νmaks cos ω t |
| νmaks = ω A |
ν = 4 cos 100 t
↓
νmaks = 4 m/s
c) persamaan percepatan
a = − ω2 A sin ω t
a = − (100)2 (0,04) sin 100 t
a = − 400 sin 100 t
Contoh 3
Sebuah beban bermassa 250 gram digantung dengan sebuah pegas yang memiliki kontanta 100 N/m kemudian disimpangkan hingga terjadi getaran selaras. Tentukan periode getarannya!
Pembahasan
Data:
k = 100 N/m
m = 250 g = 0,25 kg
T = .....
Dari rumus periode getaran sistem pegas:
Sehingga:
Contoh 4
Sebuah bandul matematis memiliki panjang tali 64 cm dan beban massa sebesar 200 gram. Tentukan periode getaran bandul matematis tersebut, gunakan percepatan gravitasi bumi g = 10 m/s2
Pembahasan
Periode ayunan sederhana:
Dari rumus periode getaran ayunan sederhana:
Sehingga:
Catatan:
Massa beban tidak mempengaruhi periode atau frekuensi dari ayunan sederhana (bandul matematis, conis).
Sebuah bandul matematis memiliki panjang tali 64 cm dan beban massa sebesar 200 gram. Tentukan periode getaran bandul matematis tersebut, gunakan percepatan gravitasi bumi g = 10 m/s2
Pembahasan
Periode ayunan sederhana:
Dari rumus periode getaran ayunan sederhana:
Sehingga:
Catatan:
Massa beban tidak mempengaruhi periode atau frekuensi dari ayunan sederhana (bandul matematis, conis).
Contoh 5
Dua buah pegas identik dengan kostanta masing-masing sebesar 200 N/m disusun seri seperti terlihat pada gambar berikut.
Beban m sebesar 2 kg digantungkan pada ujung bawah pegas. Tentukan periode sistem pegas tersebut!
Dua buah pegas identik dengan kostanta masing-masing sebesar 200 N/m disusun seri seperti terlihat pada gambar berikut.
Beban m sebesar 2 kg digantungkan pada ujung bawah pegas. Tentukan periode sistem pegas tersebut!
Pembahasan
Gabungkan konstanta kedua pegas dengan susunan seri:
Contoh 6
Dua buah pegas dengan kostanta sama besar masing-masing sebesar 150 N/m disusun secara paralel seperti terlihat pada gambar berikut.
Tentukan besar periode dan frekuensi susunan tersebut, jika massa beban m adalah 3 kilogram!
Pembahasan
Periode susunan pegas paralel, cari konstanta gabungan terlebih dahulu:
Contoh 7
Sebuah benda yang massanya 200 gram bergetar harmonik dengan periode 0,2 sekon dan amplitudo 2 cm. Tentukan :
a) besar energi kinetik saat simpangannya 1 cm
b) besar energi potensial saat simpangannya 1 cm
c) besar energi total
Pembahasan
Data dari soal:
m = 200 g = 0,2 kg
T = 0,2 s → f = 5 Hz
A = 2 cm = 0,02 m = 2 x 10-2 m
a) besar energi kinetik saat simpangannya 1 cm
y = 1 cm = 0,01 m = 10-2 m
Ek = ....
b) besar energi potensial saat simpangannya 1 cm
c) besar energi total
Contoh 8
Tentukan besarnya sudut fase saat :
a) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan energi potensialnya
b) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan sepertiga energi potensialnya
Pembahasan
a) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan energi potensialnya
Ek = Ep
1/2 mν2 = 1/2 ky2
1/2 m (ω A cos ω t)2 = 1/2 mω2 (A sin ω t)2
1/2 m ω2 A2 cos2 ω t = 1/2 mω2 A2 sin2 ω t
cos2 ω t = sin2 ω t
cos ω t = sin ω t
tan ω t = 1
ωt = 45°
Energi kinetik benda yang bergetar sama dengan energi potensialnya saat sudut fasenya 45°
b) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan sepertiga energi potensialnya
Ek = 1/3 Ep
1/2 mν2 =1/3 x 1/2 ky2
1/2 m (ω A cos ω t)2 = 1/3 x 1/2 mω2 (A sin ω t)2
1/2 m ω2 A2 cos2 ω t = 1/3 x 1/2 mω2 A2 sin2 ω t
cos2 ω t = 1/3 sin2 ω t
cos ω t = 1/√3 sin ω t
sin ω t / cos ω t = √3
tan ω t = √3
ω t = 60°
Energi kinetik benda yang bergetar sama dengan sepertiga energi potensialnya saat sudut fasenya 60°
Contoh 9
Sebuah balok bermassa 0,5 kg dihubungkan dengan sebuah pegas ringan dengan konstanta 200 N/m. Kemudian sistem tersebut berosilasi harmonis. Jika diketahui simpangan maksimumnya adalah 3 cm, maka kecepatan maksimum adalah....
A. 0,1 m/s
B. 0,6 m/s
C. 1 m/s
D. 1,5 m/s
E. 2 m/s
(Seleksi Astronomi 2012)
Pembahasan
Data :
m = 0,5 kg
k = 200 N/m
ymaks = A = 3 cm = 0,03 m
vmaks = ......
Periode getaran pegas :
T = 2π √(m/k)
T = 2π √(0,5/200) = 2π√(1/400) = 2π (1/20) = 0,1 π sekon
vmaks = ω A
2π
vmaks= ____ x A
T
2π
vmaks = ______ x (0,03) = 0,6 m/s
0,1 π
Contoh 10
Sebuah benda bermassa 50 gram bergerak harmonis sederhana dengan amplitudo 10 cm dan periode 0,2 s. Besar gaya yang bekerja pada sistem saat simpangannya setengah amplitudo adalah sekitar....
A. 1,0 N
B. 2,5 N
C. 4,8 N
D. 6,9 N
E. 8,4 N
(SPMB 2005)
Pembahasan
Data soal:
m = 50 gram = 50 × 10−3 kg
A = 10 cm = 0,1 m = 10−1 m
T = 0,2 s
y = 0,5 A
F = ......
Gaya pada gerak harmonis
Gabungkan konstanta kedua pegas dengan susunan seri:
Contoh 6
Dua buah pegas dengan kostanta sama besar masing-masing sebesar 150 N/m disusun secara paralel seperti terlihat pada gambar berikut.
Tentukan besar periode dan frekuensi susunan tersebut, jika massa beban m adalah 3 kilogram!
Pembahasan
Periode susunan pegas paralel, cari konstanta gabungan terlebih dahulu:
Contoh 7
Sebuah benda yang massanya 200 gram bergetar harmonik dengan periode 0,2 sekon dan amplitudo 2 cm. Tentukan :
a) besar energi kinetik saat simpangannya 1 cm
b) besar energi potensial saat simpangannya 1 cm
c) besar energi total
Pembahasan
Data dari soal:
m = 200 g = 0,2 kg
T = 0,2 s → f = 5 Hz
A = 2 cm = 0,02 m = 2 x 10-2 m
a) besar energi kinetik saat simpangannya 1 cm
y = 1 cm = 0,01 m = 10-2 m
Ek = ....
b) besar energi potensial saat simpangannya 1 cm
c) besar energi total
Contoh 8
Tentukan besarnya sudut fase saat :
a) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan energi potensialnya
b) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan sepertiga energi potensialnya
Pembahasan
a) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan energi potensialnya
Ek = Ep
1/2 mν2 = 1/2 ky2
1/2 m (ω A cos ω t)2 = 1/2 mω2 (A sin ω t)2
1/2 m ω2 A2 cos2 ω t = 1/2 mω2 A2 sin2 ω t
cos2 ω t = sin2 ω t
cos ω t = sin ω t
tan ω t = 1
ωt = 45°
Energi kinetik benda yang bergetar sama dengan energi potensialnya saat sudut fasenya 45°
b) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan sepertiga energi potensialnya
Ek = 1/3 Ep
1/2 mν2 =1/3 x 1/2 ky2
1/2 m (ω A cos ω t)2 = 1/3 x 1/2 mω2 (A sin ω t)2
1/2 m ω2 A2 cos2 ω t = 1/3 x 1/2 mω2 A2 sin2 ω t
cos2 ω t = 1/3 sin2 ω t
cos ω t = 1/√3 sin ω t
sin ω t / cos ω t = √3
tan ω t = √3
ω t = 60°
Energi kinetik benda yang bergetar sama dengan sepertiga energi potensialnya saat sudut fasenya 60°
Contoh 9
Sebuah balok bermassa 0,5 kg dihubungkan dengan sebuah pegas ringan dengan konstanta 200 N/m. Kemudian sistem tersebut berosilasi harmonis. Jika diketahui simpangan maksimumnya adalah 3 cm, maka kecepatan maksimum adalah....
A. 0,1 m/s
B. 0,6 m/s
C. 1 m/s
D. 1,5 m/s
E. 2 m/s
(Seleksi Astronomi 2012)
Pembahasan
Data :
m = 0,5 kg
k = 200 N/m
ymaks = A = 3 cm = 0,03 m
vmaks = ......
Periode getaran pegas :
T = 2π √(m/k)
T = 2π √(0,5/200) = 2π√(1/400) = 2π (1/20) = 0,1 π sekon
vmaks = ω A
2π
vmaks= ____ x A
T
2π
vmaks = ______ x (0,03) = 0,6 m/s
0,1 π
Contoh 10
Sebuah benda bermassa 50 gram bergerak harmonis sederhana dengan amplitudo 10 cm dan periode 0,2 s. Besar gaya yang bekerja pada sistem saat simpangannya setengah amplitudo adalah sekitar....
A. 1,0 N
B. 2,5 N
C. 4,8 N
D. 6,9 N
E. 8,4 N
(SPMB 2005)
Pembahasan
Data soal:
m = 50 gram = 50 × 10−3 kg
A = 10 cm = 0,1 m = 10−1 m
T = 0,2 s
y = 0,5 A
F = ......
Gaya pada gerak harmonis
F = mω2y
dengan:
ω = 2π/T = 2π / 0,2 = 10π rad/s
y = 0,5 A = 0,5(0,1) = 5 × 10−2Sehingga:
F = (50 × 10−3)(10π)2(5 × 10−2) = 2,5 N
Contoh 11
Sebuah bandul sederhana dengan panjang tali 39,2 cm dan beban 200 gram
Jika percepatan gravitasi 9,8 m/s2 tentukan periode ayunan!
Pembahasan
Periode getaran pada bandul sederhana, ayunan sederhana:
Dimana
T= periode getaran (s)
l = panjang tali (m)
g = percepatan gravitasi (m/s2)
Sehingga
Contoh 12
Ayunan sederhana dengan panjang tali L = 0,4 m pada sebuah dinding seperti gambar berikut.
Jika percepatan gravitasi bumi 10 m/s2 perkirakan periode ayunan!
Pembahasan
Periode ayunan adalah setengah dari periode saat panjang tali sebesar L ditambah dengan setengah periode ayunan saat panjang tali sebesar 1/2 L
Sehingga
ω = 2π/T = 2π / 0,2 = 10π rad/s
y = 0,5 A = 0,5(0,1) = 5 × 10−2Sehingga:
F = (50 × 10−3)(10π)2(5 × 10−2) = 2,5 N
Contoh 11
Sebuah bandul sederhana dengan panjang tali 39,2 cm dan beban 200 gram
Jika percepatan gravitasi 9,8 m/s2 tentukan periode ayunan!
Pembahasan
Periode getaran pada bandul sederhana, ayunan sederhana:
Dimana
T= periode getaran (s)
l = panjang tali (m)
g = percepatan gravitasi (m/s2)
Sehingga
Contoh 12
Ayunan sederhana dengan panjang tali L = 0,4 m pada sebuah dinding seperti gambar berikut.
Jika percepatan gravitasi bumi 10 m/s2 perkirakan periode ayunan!
Pembahasan
Periode ayunan adalah setengah dari periode saat panjang tali sebesar L ditambah dengan setengah periode ayunan saat panjang tali sebesar 1/2 L
Sehingga
